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Organisateurs : Théo Marty (Université Grenoble Alpes) et Neige Paulet (Université Sorbonne Paris Nord)

Dates : 23/24 novembre 2020

Programme

23 novembre (14h–18h) :

• Ioannis Iakovoglou (Université de Bourgogne)
  Le plan bifeuilleté : un invariant complet des flots d'Anosov en dimension 3
  Résumé - Un plan bifeuilleté est la donnée d'un plan muni de deux feuilletages transverses et d'une action de groupe préservant les deux feuilletages. À chaque flot d'Anosov en dimension 3 on peut associer un plan bifeuilleté (aussi appelé son espace d'orbites). Dans cet exposé introductif, on présentera la notion de plan bifeuilleté et certaines de ces applications pour l'étude des flots d'Anosov. En particulier, à quoi ressemblent les plans bifeuilletés des flots d'Anosov ? Comment peut-on récupérer des informations sur le flot via le plan bifeuilleté ?
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• Pierre Dehornoy (Université Grenoble Alpes)
  Sections de Birkhoff : existence et abondance
  Résumé - Une section de Birkhoff pour un flot tridimensionnel est une surface à bord coupant toutes les orbites. Dans cet exposé espéré introductif, on présentera cette notion, en particulier pour l'étude des flots d'Anosov. On donnera des exemples (pour des flots géodésiques), des critères d'existence (dûs à Schwartzman-Ghys) et des théorèmes d'existence (Fried). On posera aussi quelques questions quant à l'abondance et la potentielle simplicité de tels surfaces.
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• Thierry Barbot (Avignon Université)
  Espace des orbites et sections de Birkhoff
  Résumé - Il est connu que deux flots d'Anosov sur variété fermée de dimension 3 sont orbitalement équivalents si et seulement si il existe un homéomorphisme entre leurs espaces d'orbites associés qui soit équivariant pour l'action des groupes fondamentaux. Dans une première partie, j'expliquerai comment on peut reconstituer un flot d'Anosov (à équivalence orbitale près) à partir de l'action du groupe fondamental sur l'espace des orbites équipé du quadrillage feuilletage stable/instable. Dans une seconde partie, je discuterai le fait que toute section de Birkhoff induit sur l'espace des orbites une structure localement modelée sur l'espace de Minkowski, avec un lieu discret de singularités, et qu'inversement toute telle structure (modulo une condition sur la partie linéaire de l'holonomie) correspond à une section de Birkhoff.
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24 novembre (14h–18h) :

• Mario Shannon (Aix-Marseille Université)
  Chirurgies de Fried et différentiabilité des flots d'Anosov
  Résumé - Les chirurgies de Fried sont une adaptation des chirurgies de Dehn aux pairs (flot, 3-variété) possédant une orbite périodique.
  Pour une orbite fermée \(\gamma\), cette procédure consiste à éclater l'orbite le long de la direction radiale -en produisant une 3-variété à bord- et après collapser le bord d'une façon non triviale. Le résultat est une nouvelle variété -chirurgie de Dehn le long de \(\gamma\)- munie d'un flot.
  Cette technique est spécialement importante dans la classe de tous les flots (\(C^0\)-orbitalement équivalents à flots) d'Anosov, car elle permet de construire une infinité d'exemples en commençant par un flot fixé.
  Malgré la simplicité de cette technique, il n'est pas tout à fait simple de comprendre comment elle transforme la structure \(C^1\)-différentiable d'un flot d'Anosov ou, autrement dit, quelle est la classe de \(C^1\)-équivalence orbitale du flot obtenue.
  Le but de cet exposé sera de montrer un exemple d'une chirurgie qui connecte deux flots d'Anosov suspension, mais où la data \(C^1\) du premier n'est pas transformée d'une façon naturelle dans celle du deuxième.
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• Ana Rechtman (Université de Strasbourg)
  Livres brisés et dynamique des flots de Reeb en dimension 3
  Résumé - Les flots de Reeb sont une famille spéciale de flots qui préservent le volume dont la dynamique, en dimension 3, a été beaucoup étudiée les derniers 30 ans. Nous savons par exemple que tout champs de Reeb a au moins deux orbites périodiques et que certains d'entre eux admettent des sections de Birkhoff. Si on considère un champ de vecteurs qui admet une section de Birkhoff dont le bord est un entrelac L, alors la variété ambiante privée de L fibre sur le cercle. Les fibres définissent un livre ouvert de la variété. Nous disons que le champ de vecteurs est porté par le livre ouvert. Nous avons montré que tout champ de Reeb non-dégéné est porté par un livre brisé (une généralisation de la notion de livre ouvert). Grâce à cette construction, nous avons étudié certains aspects de la dynamique des flots de Reeb : nous établissons par exemple, qu'un champ de Reeb non-dégénéré a deux ou une infinité d'orbites périodiques ; et que tout champ de Reeb non-dégénéré sur une variété non-graphée est d'entropie topologique positive. Ceci est un travail en collaboration avec Vincent Colin et Pierre Dehornoy.
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• Christian Bonatti (CNRS & Université de Bourgogne)
  Chirurgies de Dehn et plan bifeuilleté
  Résumé - Quand on effectue une chirurgie sur un flot d'Anosov X, quel est l'effet de la chirurgie sur le plan bifeuilleté ? Cet exposé présentera une méthode de comparaison des holonomies, en précisant d'abord le sens d'une telle comparaison. On verra que cette comparaison se fait à l'aide d'un jeu dynamique de composition d'un nombre non borné à priori des holonomies de franchissement des feuilles sur lesquelles on a effectué la chirurgie. On en déduira que l'on peut transformer tout flot d'Anosov sur une variété orientable en un flot \(\mathbb{R}\)-covered, par une chirurgie sur une orbite périodique suffisamment dense, et qu'inversement on peut obtenir un flot non-\(\mathbb{R}\)-covered par 2 chirurgies de sens opposés.
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Informations pratiques : La rencontre sera sur Zoom, les informations de connexion seront communiquées aux participants.